質問＜１１４６＞２００３／３／４
from=シゲ
「図形問題」

平面上の点Ｏを中心とする半径１の円周上に点Pをとり、
円の内部または、周上に
２点Q，Rを、△PQRが１辺の長さ２/√３の正三角形となるようにとる。
このとき、（OQの二乗）＋（ORの二乗）の最小値を求めよ。

よろしくお願いします。

お便り２００３／３／６
from=Q太郎

QRの中点をMとおくと、
中線定理より、
（OQの２乗）＋（ORの２乗）＝２（(OMの２乗)＋1/3）
がいえるので、
（OMの２乗）が最小になるとき
（OQの２乗）＋（ORの２乗）は最小値をとる。
また、円の半径OP＝１と、MP＝１を考え、
点Mは、点Oを通る円周上にあることがわかる。
よって、点Mと点Oが一致するとき
（OQの２乗）＋（ORの２乗）は最小値2/3をとる。