質問＜１０９２＞２００３／１／２５
from=やー
「積分問題」

ガンマ関数の公式を使わない方法教えてください。

（1）∫_0^π/2  x sin(x)(cos(x))^2 dx

(2)π/4＜∫_0^1 √1－ｘ^4 dx ＜2/3√2
  この式が成り立つことを示す。

（3）Ｄ＝｛(x,y)｜1≦x^2－y^2≦9 , 2≦xy≦4｝とする。
　　Ｉ＝∬(x^2＋Y^2)dxdy
        D

お便り２００３／１／２６
from=phaos

(1) ∫_0^(π/2) x sin x cos^2 x dx
= (-1/3)∫_0^(π/2) x d(cos^3 x)
= (-1/3)([x cos^3 x]_0^(π/2) - ∫_0^(π/2) cos^3 x dx)
= (1/3)∫_0^(π/2) cos^3 x dx
= (1/3)×(2/3) = 2/9.

(2) 先ず 0 ＜ x ＜ 1 で
1 > x^2 > x^4 > 0 だから
0 ＜ 1 - x^2 ＜ 1 - x^4
0 ＜ √(1 - x^2) ＜ √(1 - x^4)
∫_0^1  √(1 - x^2) dx ＜ ∫_0^1 √(1 - x^4) dx
左辺で x = sin t と変換すると
左辺 = ∫_0^1 cos^2 t dt = π/4.
従って
π/4 ＜ ∫_0^1 √(1 - x^4) dx.

一般の二項定理により 0 ＜ x ＜ 1 で
√(1 - x^4) = 1 - x^4/2 - x^8/8 - …
だから特に
√(1 - x^4) ＜ 1 - x^4/2
従って
∫_0^1 √(1 - x^4) dx ＜ ∫_0^1  (1 - x^4/2)dx 
　　　　　　　　　　　= [x - x^5/10]_0^1 
　　　　　　　　　　　= 1- 1/10 
　　　　　　　　　　　= 9/10 
　　　　　　　　　　　＜ 2√2/3.

[ここの証明はもっといい方法があるやもしれない]

以上より
π/4 ＜ ∫_0^1 √(1 - x^4) dx ＜ 2√2/3.

(3)
u = x^2 - y^2
v = xy
と置く
du/dx = 2x, du/dy = -2y,
dv/dx = y, dv/dy = x
だから
dudv = 2(x^2 + y^2)dxdy.
従って
∫_D (x^2 + y^2)dxdy = (1/2)∫_1^9 du ∫_2^4 dv
= (1/2)×(9 - 1)×(4 - 2) = 8.

お便り２００３／１／２８
from=やー

お返事いただいたんですけど、

（3）を詳しく教えてほしいです。
u = x^2 - y^2
v = xy
と置いて
du/dx = 2x, du/dy = -2y,
dv/dx = y, dv/dy = x
まで理解しました。

この後、
dudv = 2(x^2 + y^2)dxdy.
になるのが分かりません。

お願いします。

お便り２００３／１／３０
from=phaos

どうやら, 多変数函数の積分に於ける変数変換というものを
あなたはご存じないようです。

u = x^2 - y^2
v = xy
と置く
du/dx = 2x, du/dy = -2y,
dv/dx = y, dv/dy = x
だから
dudv = 2(x^2 + y^2)dxdy.

というのは次の原理に基づいています。

[二変数函数の積分の変数変換]
∫f(x, y)dxdy = ∫f(x(u, v), y(u, v))|dx/du・dy/dv - dx/dv・dy/du|dudv
ここで, 行列式 dx/du・dy/dv - dx/dv・dy/du を 
Jacobian (ヤコビアン) と言います。
詳しくは
http://www.toyama-mpu.ac.jp/la/math/kyouzai/2-var-change/
をご覧ください。

一応, 上記の問題では変換の方向が逆になっているので
書き直しておきますと
∫f(u, v)dudv = ∫f(u(x, y), v(x, y))|du/dx・dv/dy - du/dy・dv/dx|dxdy
です。