質問＜１０７９＞２００３／１／１８
from=あらし
「５次方程式」

5次方程式(x^5)-1=0の1でない解の1つをωとするとき
①α=ω＋ω^-1とおくとき、(α^2)＋αの値を求めよ。
②ωを極形式で表し、上の方程式の5つの根を複素平面上に
　図示せよ。また1に隣接する根のx座標βの値を求めよ。
という問題なのですが、さっぱりわかりません。
詳しく教えていただけると助かります。よろしくお願い致します。

お便り２００３／１／１８
from=phaos

①
x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0
で ω ≠ 1 だから
ω^4 + ω^3 + ω^2 + ω + 1 = 0.
明らかに ω ≠ 0 だから ω^2 で両辺を割ると
ω^2 + ω + 1 + ω^(-1) + ω^(-2) = 0.
α = ω + ω^(-1) と置くと
α^2 = ω^2 + ω^(-2) + 2
だから
α^2 + α - 1 = 0.
従って
α^2 + α = 1.

②
ω = cos θ + i sin θ
と置くと, 定義から ω^5 = cos 5θ + i sin 5θ = 1.
だから 5θ = 2nπ, n ∈ Z, n は 5 の倍数ではない。
よって絶対値 1, 偏角 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5 である複素数を図示すればよい。
後半:
α^2 + α - 1 = 0
を解くと
α = (-1 ± √5)/2.
ω + ω^(-1) = (-1 ± √5)/2
2ω^2 -(-1 ± √5)ω + 2 = 0.
ω = [(-1 + √5) ± √(-10 - 2√5)]/4, [(-1 - √5) ± √(-10 + 2√5)]/4.
で, 2√5 ＜ 10 だから, 虚数単位 i を用いると
ω = [(-1 ± √5) ± i√(10 ± 2√5)]/4 (√5 の直前の複号だけ同順)
となる。 複素平面を考えて
cos(2π/5) = ( √5 - 1)/4, sin(2π/5) = √(10 + 2√5)/4 が分かる。
従って
β = cos(±2π/5) = ( √5 - 1)/4

http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/drawing/pentagon.html