質問＜１０７０＞２００３／１／１４
from=（なまえ）
「ルジャンドルの多項式。＆二重積分」

1）

Pn(x)=   　　1  　　dのn乗
　　　  ――――― ―――――(xの２乗－1)のn乗　
　　　　2のn乗*ｎ!　dxのn乗

をルジャンドルの多項式という。
ここで、ｎ＝1,2,・・・.この時、以下を説明せよ。

 1      　　　　　 0（ｍ≠ｎ）
∫Pm(x)Pn(x)dx＝　 
 -1　    　　　　　2/2n+1（ｍ＝ｎ）

２）
　　　　　　 　　dxdy
　　　∫∫  ―――――――――――――　　
         D  (1+xの2乗+yの2乗)の3/2乗       

Ｄ＝(x,y)｜　0 ≦ ｘの2乗 + yの2乗 ≦ 1 ｝
              

お便り２００３／１／２２
from=phaos

1080 と 1070 の 2) は同じ問題ですね。
x = r cos θ
y = r sin θ
と置くと x^2 + y^2 = r^2,
dxdy = rdrdθ
で, D は 0 ＜ r ≦ 1, 0 ≦ θ ＜ 2π
(正確にいうとこれに原点 O を付け加えたもの。
一点は測度 0 だから無視して良い) に変換される。
与式 = ∫_0^(2π) dθ ∫_0^1 rdr/(1 + r^2)^(3/2)
= 2π・(1/2)∫_0^1 d(1 + r^2)/((1 + r^2)^(3/2)
= π[-2/√(1 + r^2)]_0^1
= π(-2/(√2) + 2)
= (2 - √2)π.

お便り２００３／１／２６
from=phaos

1)
Legendre の球函数については
高木貞治: 解析概論 改訂第 3 版, §36
に出ているので, それを見ると出来る。