質問＜１０６７＞２００３／１／１３
from=ソーコム
「数学的帰納法～類推せよ」

α1=３、(ｎ+１)αn+1=αn^2－１によって定義される数列{αn}の
一般項を類推し、それが正しいことを数学的帰納法によって証明せよ。
(わかりやすいように指数やインデックスは半角文字、普通の数字は
全角文字にしてみました。)

上記のような問題なのですが…このようにして↓↓↓

ｎ=１のとき　２α2=８　　⇒α2=４
ｎ=２のとき　３α3=１５　⇒α3=５
ｎ=３のとき　４α4=２４　⇒α4=６

で、数列{αn}はαn=ｎ＋２と類推される。

まではなんとか…。
その後この類推の正しさを証明できません。
どうぞよろしくお願い致します。

お便り２００３／１／１４
from=phaos

α_n = n + 2 と仮定する。
α_(n + 1) = ((α_n)^2 - 1)/(n + 1) だから
右辺 = ((n+2)^2 - 1)/(n + 1)
　　 = (n^2 + 4n + 3)/(n + 1)
　　 = (n + 1)(n + 3)/(n + 1)
　　 = n + 3
　　 = (n + 1) + 2
　　 = 左辺。
よって数学的帰納法により正しい。