質問

レポートなんですが、教科書見てもわからないんです。

1）極限値問題。

　   　 n-1   　　　　  1
  lim   Σ    ――――――――――
 n→∞  k=0    √nの２乗－kの２乗
　　

分母はすべてルートの中です。


2）広義積分が収束するようなａの範囲は？

　　　 ∞　　ｘの(a-1)乗　　
　　　∫　 ――――――― dx
　　　 0　　 　 １+ｘ


3) 積分の順序を交換せよ。

     4    2√x 
　　∫ dx ∫   f(x,y)dy
     0    x


お願いします。

お便り２００３／１／１３
from=juin

(1)limSigma(1/Sqrt(n^2-k^2)=limSigma(1/n)(1/Sqrt(1-(k/n)^2))
=Integral(dx/Sqrt(1-x^2)) on 0＜x＜1
=Pi/2

お便り２００３／１／１４
from=phaos

1)
与式 = lim Σ (1/n)(1/√(1 - (k/n)^2))
= ∫_0^1 dx/√(1 - x^2) … x = sin t と置く
= ∫_0^(π/2) cos t dt/√(1 - sin^2 t)
= ∫_0^(π/2) dt = π/2.

2)
先ず x = 0 の方を見ると, a - 1 > -1 即ち
a > -2 でなければならない。
x → ∞ の方を見ると a ＜ -1 でなければならない。
よって -2 ＜ a ＜ -1.

3)
積分領域を描いてみると分かるが
x ≦ y ≦ 2√x, 0 ≦ x ≦ 4
である。これを y の方を主体にしてみると
y ≦ x ≦ y^2/4, 0 ≦ y ≦ 4
だから
与式 = ∫_0^4 dy ∫_(y^2/4)^y f(x, y) dx.